精英日课-排序不等式

什么是排序不等式

排序不等式：大数乘大数加上小数乘小数，大于大数乘小数加小数乘大数。

假设:

x1>x2>x3>0
y1>y2>y3>0

那么：

x1*y1 + x2*y2 + x3*y3 > [其它排序乘积相加] > x1*y3 + x2*y2 + x3*y1

它能告诉你效率和公平的本质关系，也正是因为这个不等式，效率和公平是矛盾的。

更关键的是，我们熟悉的那些不等式，比如什么“算数平均值大于几何平均值”、什么“柯西不等式”、什么“车比雪夫不等式”，都可以从排序不等式推导出来。

排序不等式的应用

世界上的很多配合不是加法、而是乘法关系。资源和人才往往不是一个加数，而是一个因子：把这个因子扩大一点点，整个这一块都能放大这么高的比例。所以：

最好的资源应该用在最赚钱的地方，
最厉害的人员应该放在最关键的岗位，
最好的电影应该乘以最好的导演再乘以最好的演员、然后给最多的院线排期。

这就是为什么好东西总爱扎堆，有志向的年轻人非得去大城市。这也是为什么会有马太效应，为什么人人都想跟最好的合作。这也是为什么市场总是让财富分布不平等。

销售额

比如你是某个决策者，你现在手里有个大项目，放在哪个地区都能提升当地的经济发展。那请问，你是把它放在经济发达地区呢，还是边远落后地区呢？

只要你关心的是全国经济总量的提升，你想通过这个项目创造更多的税收，你就应该坚决投发达地区。同样是提升1%，发达地区的乘数要大得多。谁都喜欢大数，但是大数最能让大数发挥作用。

商店促销

促销要放在周末人多的时候，而不是平时人少的时候。（前提是没有达到销量瓶颈，比如门店承受能力。）

车间系统

我们假设你们车间有两条生产线，每条生产线需要两个人先后动作，共同完成一件产品。现在你有四个工人，老张和老李的良品率都是95%，小张和小李的良品率都是75%。那请问，你应该把这四个人怎么分组呢？

直觉的分法，是让老张和小张一组，老李和小李一组，这样两个组的良品率是一样的，都是0.95×0.75=71%。你可能觉得这样分组还能让高手带一带低手，能起到骨干作用。我不知道那个高手“带动”低手的效应能有多大，但是我知道，排序不等式要求你让老张和老李一组，小张和小李一组。你的高手组良品率将是0.95×0.95=90%，低手良品率将是0.75×0.75=56%，而你的总良品率是两组的平均值，也就是73%——高于高低搭配分组的71%。

排序不等式，是资源配置的“零阶道理”。

当然，世界是复杂的，事物的发展常常是非线性的，什么东西太多了都会发生边际效应递减。也许这个项目在发达地区的发展空间已经饱和了，也许那个地区暂时落后，以后的发展潜力大，也许大城市生活成本太高了，也许最优秀的导演不会重视你这个剧本，应该找最合适的。

但是，那些都是对零阶道理的一阶、或者高阶修正：零阶道理仍然是零阶道理。我们做决策必须首先考虑零阶道理，只有在证实了零阶道理在这里不行的情况下，我们才应该考虑那些修正。

不适用排序不等式的场景

教育系统

教育系统有重点大学、重点中学，同一个学校里还会有重点班，重点班的老师是全校最好的。这完全符合排序不等式，教育系统希望培养高水平人才。但是你注意到没有，在任何一个班级里，老师重点关注的，往往不是最好的学生。这是为啥呢？因为学习成绩有上限。

福利系统

还有一种系统，比如福利系统，则要求各个相加项的大小有一个下限。是，在贫困山区建设通讯基站效率不高，但是贫困山区需要通讯基站。福利系统解决的是公平问题。这种系统有时候会把最好的官员排到最贫困的地区去，并不指望他们创造什么效益，只是希望提高那些地区的下限。而既然是为了公平，那就必然牺牲了效率。

安全系统

安全系统也强调下限。只要是防守，我们最关心的一定是最薄弱的地方，要把最好的资源和人手放在那个地方。

如何利用排序不等式

个人只能做一个乘法因子，管理者要的却是相乘再相加。如果你是一个系统的运行者，你必须清楚判断这是一个不设限系统，还是一个有上限或者下限的系统。

公司在乎的是总收入，本质上是个不设限的系统。排序不等式告诉我们这样的系统应该狠抓“长板”，因为长板最能提高总量。有下限的系统最关心的是短板，而有上限的系统最希望每块板都差不多。

作为个体，如果你认为自己是个大数因子，那你最好不要呆在有上限的系统中。

教育系统搞搞数学竞赛什么的，也算是给好学生一个出路。

搞平均符合直觉，但是违反数学。

我们个人的生活和学习不也是这样的吗？直觉上你可能认为应该把每一件事都做好，每个学科都学好，其实不是。数学要求这是一个长板的世界：你应该把最好的精力、最多的时间用在最能体现你价值的项目上。

设重点、偏科、不均匀、走极端，这才是自然之道。